In this Technical Note we analyze the cumulative curves of deaths attributed to Covid-19 in the 26 Brazilian states and the Federal District until August 21, 2020. Mathematical growth models implemented by the ModInterv Covid-19 application, which can be accessed via internet browser or via a mobile app available at the Google Play Store, were used to investigate at which stage the epidemic is in each of these entities of the Federation. The analysis revealed that almost all states in the Northern and Northeastern regions are in the saturation phase, when the epidemic is relatively under control, while in all Southern states and in most states in the Midwest the epidemic is still accelerating or shows only a slight deceleration. The Southeastern region presents a great diversity of epidemic stages, with each state at a different stage, ranging from acceleration to saturation.

Nesta Nota Técnica nós analisamos as curvas acumuladas de mortes atribuídas à Covid-19 nos 26 estados e Distrito Federal até o dia 21 de agosto de 2020. Foram utilizados modelos matemáticos de crescimento implementados pelo aplicativo ModInterv Covid-19, que pode ser acessado via internet (http://fisica.ufpr.br/modinterv) ou através de aplicativo para celular disponível na Play Store (https://play.google.com/store/apps/details?id=com.tanxe.covid_19), para investigar em qual fase da epidemia cada um dessas unidades da federação se encontra. A análise revelou que quase todos os estados das Regiões Norte e Nordeste encontram-se em uma fase de saturação, quando a epidemia está relativamente sob controle, ao passo que em todos os estados do Sul e a maioria dos estados do Centro-Oeste a epidemia ainda está em aceleração ou apresenta apenas uma leve desaceleração. A Região Sudeste apresenta uma grande diversidade de estágios da epidemia, com cada estado em um estágio diferente, indo de acelerado à saturação.

In this technical note we analyze the accumulated fatality curves attributed to Covid-19 in the 27 Brazilian state capitals until July 19, 2020. We employed three mathematical growth models to assess at which stage of the epidemic each of these cities is at. These models were implemented in the Modinterv Covid-19 application, developed by the Federal Universities of Paraná, Pernambuco and Sergipe, which can be accessed through the <http://fisica.ufpr.br/modinterv> page. The analysis reveals that only Recife and Belém appear to have reached the saturation phase of the epidemic, when the accumulated fatality curve begins to approach the plateau. Among the other capitals, eight are still in the initial phase of rapid growth and seventeen are in the intermediate phase, when the epidemic curve has already passed through the inflection point but is still relatively far from the plateau.

Nessa nota técnica analisamos as curvas acumuladas de mortes atribuídas à Covid-19 nas 27 capitais brasileiras até o dia 19 de julho de 2020. Empregamos três modelos matemáticos de crescimento para avaliar em que fase da epidemia encontra-se cada uma dessas cidades. Esses modelos  foram implementados  no aplicativo Modinterv Covid-19, desenvolvido pelas Universidades Federais do Paraná, Pernambuco e Sergipe, o qual pode ser acessado através da página http://fisica.ufpr.br/modinterv. A análise revela que apenas Recife e Belém aparentam ter atingido a fase de saturação da epidemia, quando a curva acumulada de morte começa a se aproximar do platô. Entre as demais capitais, oito ainda estão na fase inicial de crescimento rápido e dezessete estão na fase intermediária, quando a curva epidêmica já passou pelo ponto de inflexão mas ainda está relativamente distante do platô.

The Covid-19 pandemic, caused by the new coronavirus (SARS-CoV-2), is one of the gravest public health crises the world has ever faced. In this context, it is important to have effective models to describe the different stages of the epidemic, in order to offer guidance to the competent authorities regarding the adoption of public policies to contain and control the pandemic. In this work, we present a novel method to analyze epidemic curves based on growth models, using as examples the cumulative curves of deaths attributed to Covid-19 for the states of the Northeastern Region of Brazil. Depending on the case, the q-exponential model, the Richards model or the generalized Richards model were used to make the numerical fits of the respective empirical curves. The models used here describe very well the empirical curves of all the Northeastern Brazilian States, thus allowing a more precise diagnosis of the stage of the epidemic in each of the States.  Among them, only the state of Paraíba is still in the early growth phase, when the epidemic curve does not yet have an inflexion point, being in this case better described by the q-exponential model.  The other states were better described either by the Richards model or by its generalized version. The Richards model, in particular, was able to identify with reasonable reliability the emergence of the inflexion point for states that only recently have reached this stage of the epidemic, such as Piauí, Rio Grande do Norte and Sergipe. This model is also able to predict when the inflection is about to occur, as is the case in Bahia. The generalized Richards model, in turn, has proved more appropriate to describe epidemic curves in states that are in a more developed phase of the epidemic, such as Ceará and Pernambuco, when the epidemic curves already show a more consolidated trend of saturation toward the plateau.

A pandemia da Covid-19, causada pelo novo coronavírus (SARS-CoV-2), é uma das maiores crises de saúde pública que o mundo já enfrentou. Nesse contexto, é importante ter modelos eficazes para descrever os diferentes estágios da evolução da epidemia, a fim de orientar as autoridades competentes na adoção de políticas públicas para o enfrentamento e controle da pandemia. No presente trabalho, nós propomos um novo método de análise de curvas epidêmicas com base na seleção criteriosa de modelos de crescimento, tomando como exemplo as curvas acumuladas de óbitos atribuídos à Covid-19 para os estados da região Nordeste do Brasil. A depender do caso, foram utilizados o modelo q-exponencial, o modelo de Richards ou o modelo generalizado de Richards para fazer o ajuste numérico das respectivas curvas empíricas. Verificou-se que os modelos utilizados descrevem muito bem as curvas empíricas de todos os estados do Nordeste, permitindo assim diagnosticar mais precisamente o estágio da epidemia em cada um dos estados. Dentre eles, apenas o estado da Paraíba ainda encontra-se na fase inicial de crescimento, quando a curva epidêmica ainda não apresenta um ponto de inflexão, sendo nesse caso melhor descrita pelo modelo q-exponencial. Os demais estados foram mais bem descritos ou pelo modelo de Richards ou por sua versão generalizada. O modelo de Richards, em particular, foi capaz de identificar com razoável confiabilidade o surgimento do ponto de inflexão para os estados que só recentemente alcançaram esse estágio da epidemia, como foi o caso do Piauí, Rio Grande do Norte e Sergipe. Esse modelo também é capaz de prever quando a inflexão está prestes a acontecer, como é o caso da Bahia. O modelo generalizado de Richards, por sua vez, mostrou-se mais apropriado para descrever curvas epidêmicas de estados que estão em uma fase mais desenvolvida da epidemia, como Ceará e Pernambuco, quando as curvas epidêmicas já apresentam uma tendência mais consolidada de saturação em direção ao platô.

Introduction: The Covid-19 pandemic is one of the biggest public health crises the world has ever faced. In this context, it is important to have effective models to describe the different stages of the epidemic’s evolution in order to guide the authorities in taking appropriate measures to fight the disease. Objective: To present an analysis of epidemic curves of Covid-19 based on phenomenological growth models, with applications to the curves for the cumulative numbers of confirmed cases of infection by the novel coronavirus (Sars-Cov-2) and deaths attributed to the disease (Covid-19) caused by the virus, for the Brazilian cities of Recife and Teresina. Methods: The Richards generalized model and the generalized growth model were used to make the numerical fits of the respective empirical curves. Results: The models used described very well the empirical curves against which they were tested. In particular, the generalized Richards model was able to identify the appearance of the inflexion point in the cumulative curves, which in turn represents the peak of the respective daily curves. A brief discussion is also presented on the relationship between the fitting parameters obtained from the model and the mitigation measures adopted in each of the municipalities considered. Conclusions: The generalized Richards model proved to be very effective in describing epidemic curves of Covid-19 and estimating important epidemiological parameters, such as the time of the peak of the curve for daily cases and deaths, thus allowing a practical and efficient monitoring of the epidemic evolution.

Introdução: A pandemia da Covid-19 é uma das maiores crises de saúde pública que o mundo já enfrentou. Nesse contexto, é importante ter modelos eficazes para descrever os diferentes estágios da evolução da epidemia, a fim de orientar as autoridades competen- tes na adoção de políticas públicas para o enfrentamento da mesma. Objetivo: Apresentar uma análise de curvas epidêmicas com base em modelos fenomenológicos de crescimento, tomando como exemplo as curvas acumuladas de casos confirmados de infecção pelo novo coronavírus (Sars-Cov-2) e de óbitos atribuídos à doença (Covid-19) causada pelo vírus, para as cidades do Recife e Teresina. Métodos: Foram utilizados o modelo generalizado de Richards e o modelo de crescimento generalizado para fazer o ajuste numérico das respectivas curvas empíricas. Resultados: Verificou-se que os modelos utilizados descrevem muito bem as curvas empíricas em que foram testados. Em particular, o modelo generalizado de Richards é capaz de identificar com razoável confiabilidade o surgimento do ponto de infle- xão nas curvas acumuladas, o qual corresponde ao ponto de máximo das respectivas curvas diárias. Apresenta-se ainda uma breve discussão sobre a relação entre os parâmetros obtidos no ajuste do modelo e as medidas de mitigação adotadas para retardar a propagação da Covid-19 em cada um dos municípios considerados. Conclusões: O modelo generalizado de Richards mostrou-se bastante eficaz para descrever curvas epidêmicas da Covid-19 e es- timar parâmetros epidemiológicos importantes, como o pico das curvas de casos e óbitos diários, permitindo assim realizar de modo prático e eficiente o monitoramento da evolução da epidemia.

In this note, we present a statistical analysis of the mortality rates of COVID-19 for several selected European countries. We compare the countries' mortality rates with their respective number of tests as a function of the time since the first death. Our analysis shows that countries that either delayed mass testing, such as Italy, or have not fully adopted it, such as France and the UK, have had much higher mortality rates than Germany, which has adopted a policy of wide and early testing. Conversely, countries that have followed Germany's example, such as Portugal, have so far had comparatively low mortality rates.

In this technical note, we present a brief discussion of the main results reported in our paper “Modelling fatality curves of COVID-19 and the effectiveness of intervention strategies”, MedRxiv/2020/051557 (DOI:10.1101/2020.04.02.20051557). In that paper, we applied the Richards growth model (RGM) to describe the fatality curves of the COVID-19 disease for countries that were, up to April 1, 2020, near the end or in an intermediary phase of the outbreak, such as China, Italy, Spain, and Iran. We also analyzed data from Brazil, which was still in the early growth regime, and so we used an alternative model (the generalized growth model) that is more appropriate for the early stages of the epidemic. We also used the RGM to study the effectiveness of possible intervention strategies and, within this context, we derived an analytic formula for the efficiency of non-pharmaceutical intervention strategies. Our findings show that there is only a narrow window, after the onset of the epidemic, during which effective countermeasures can be taken. Here we present a brief overview of the results obtained in the aforementioned paper, but we use more recent data to update our analysis. For more details, we refer the reader to the original article.

En esta nota técnica presentamos una breve discusión de los principales resultados de nuestro artículo "Modelado de curvas de mortalidad de COVID-19 y la efectividad de las estrategias de intervención", MedRxiv / 2020/051557 (DOI: 10.1101 / 2020.04.02.20051557). En este artículo, aplicamos el modelo de crecimiento de Richards para describir las curvas de mortalidad de COVID-19 para países que estaban, hasta el 4/1/2020, cerca del final o en la fase intermedia de la epidemia, como China, Italia, España e Irán. También analizamos datos de Brasil, aunque todavía estaba en las primeras etapas de la epidemia. Para este caso, utilizamos un modelo alternativo, el modelo de crecimiento generalizado, que es más apropiado para esa fase. También utilizamos el modelo de Richards para estudiar la efectividad de las posibles estrategias de intervención y, en este contexto, derivamos una fórmula analítica para la eficiencia de las estrategias de intervención no farmacológicas. Nuestros resultados muestran que solo hay una ventana estrecha, después de que comienza el brote, durante la cual se pueden tomar intervenciones no farmacológicas efectivas para contener la epidemia. En esta nota, también presentamos algunos resultados originales para las curvas de fatalidad de Italia y Brasil, actualizadas con datos hasta el 08/04/2020, además de una breve descripción general del trabajo mencionado anteriormente. Para más detalles, remitimos al lector al artículo original.

Nesta nota técnica apresentamos uma breve discussão dos principais resultados do nosso artigo “Modelling fatality curves of COVID-19 and the effectiveness of intervention strategies”, MedRxiv/2020/051557 (DOI:10.1101/2020.04.02.20051557). Nesse artigo, aplicamos o modelo de crescimento de Richards para descrever as curvas de fatalidade da COVID-19 para países que estavam, até 01/04/2020, ou perto do fim ou na fase intermediária da epidemia, como a China, Itália, Espanha e Irã. Também analisamos dados do Brasil, embora ainda estivesse na fase inicial da epidemia, mas nesse caso usamos um modelo alternativo—o modelo de crescimento generalizado—que é mais apropriado para essa fase. Utilizamos ainda o modelo de Richards para estudar a eficácia de possíveis estratégias de intervenção e, nesse contexto, derivamos uma fórmula analítica para a eficiência das estratégias de intervenção não farmacológicas. Os nossos resultados mostram que existe apenas uma estreita janela, após o início do surto, durante a qual intervenções efetivas não farmacológicas podem ser tomadas para conter a epidemia. Nesta nota, apresentamos ainda alguns resultados originais para as curvas de fatalidade da Itália e do Brasil, atualizados com dados até 08/04/2020, além de uma breve descrição geral do trabalho acima mencionado. Para mais detalhes, remetemos o leitor para o artigo original.

This article contains the lecture notes for the short course "Introduction to Econophysics," delivered at the II Brazilian School on Statistical Mechanics, held in São Carlos, Brazil, in February 2004. The main goal of the present notes is twofold: i) to provide a brief introduction to the problem of pricing financial derivatives in continuous time; and ii) to review some of the related problems to which physicists have made relevant contributions in recent years.